Algèbre — Calcul matriciel, Algorithme de Gauss, Arithmétique
法语代数讲义 · 以法语为主，辅以中文翻译 Pour 3ème Semestre（北航中法工程师学院 第三学期）
来源：Jonathan Jenvrin（Centrale Pékin）《Algèbre》课程 PPT，按授课顺序整理——2026-09-11、09-14、09-18、09-21、09-28、10-09、10-10、10-12。页面以 PPT 内容为准，术语中文翻译参照课本《Algèbre élémentaire》(2A)。原为 PPT 图形的示意图以〔图〕文字说明代替。
A.1Loi de composition interne内部二元运算：结合律、交换律、幺元、逆元
On appelle loi de composition interne toute application \[\star:\ E\times E \to E,\qquad (x,y)\mapsto x\star y.\]
Une loi de composition interne \(\star\) est dite :
- associative si \(\forall(x,y,z)\in E^{3},\ x\star(y\star z)=(x\star y)\star z\) ;
- commutative si \(\forall(x,y)\in E^{2},\ x\star y=y\star x\).
L’addition et la multiplication dans \(\mathbb{Z}\) sont associatives et commutatives. La soustraction \((a,b)\mapsto a-b\) dans \(\mathbb{Z}\) n’est pas associative : \((1-1)-1 \neq 1-(1-1)\). La soustraction n’est d’ailleurs pas une loi interne sur \(\mathbb{N}\) : \(2-3 = -1 \notin \mathbb{N}\).
Un élément \(e\) de \(E\) est dit élément neutre pour \(\star\) si :
\[e\star x = x\star e = x,\qquad \forall x\in E.\]1. Si l’élément neutre existe, il est unique（exercice）.
2. Dans \(\mathbb{Z}^*\)，没有加法幺元（\(0\notin\mathbb{Z}^*\)），而乘法的幺元是 \(1\)。
On suppose que \(\star\) admet un élément neutre \(e\). Soit \(x\in E\). On appelle inverse de \(x\) tout élément \(x'\) de \(E\) tel que \(x\star x' = x'\star x = e\). On dit que \(x\) est inversible s’il admet un inverse.
1. Supposons \(\star\) associative. L’inverse de \(x\), s’il existe, est unique (exercice) et on le note \(x^{-1}\).
2. Si \(\star\) est associative, on peut définir sans ambiguïté \(x^n = x\star\cdots\star x\)（\(n\) fois）, et par récurrence : \(\forall n,p\in\mathbb{N},\ \forall x\in E,\ x^{n+p}=x^n\star x^p\) et \((x^n)^p = x^{np}\).
Dans \(\mathbb{Z}\), tout élément possède un inverse pour l’addition. Pour la multiplication dans \(\mathbb{Z}\), seuls \(1\) et \(-1\) possèdent un inverse.
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（A.1）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| loi de composition interne | 内部二元运算 | 封闭：\(E\times E\to E\) |
| associative | 结合的 | \(x\star(y\star z)=(x\star y)\star z\) |
| commutative | 交换的 | |
| élément neutre | 幺元 · 单位元 | 若存在则唯一 |
| élément inverse / inversible | 逆元 / 可逆的 | 记 \(x^{-1}\) |
A.2Groupes et sous-groupes群与子群
Soit \(G\) un ensemble muni d’une loi de composition interne \(\star\). On dit que \((G,\star)\) est un groupe si :
- \((G_1)\) la loi \(\star\) est associative : \(\forall x,y,z\in G,\ x\star(y\star z)=(x\star y)\star z\) ;
- \((G_2)\) \(\star\) possède un neutre \(e\) : \(\forall x\in G,\ e\star x = x\star e = x\) ;
- \((G_3)\) tout élément possède un inverse : \(\forall x\in G,\ \exists x'\in G,\ x\star x'=x'\star x=e\).
Si de plus \(\star\) vérifie \((G_4)\) commutative : \(\forall x,y\in G,\ x\star y = y\star x\), alors on dit que \((G,\star)\) est un groupe abélien（交换群）.
\((\mathbb{Z},+)\)、\((\mathbb{Q},+)\)、\((\mathbb{R},+)\)、\((\mathbb{C},+)\)、\((\mathbb{Q}^*,\times)\)、\((\mathbb{R}^*,\times)\) et \((\mathbb{C}^*,\times)\) sont des groupes abéliens. \((\mathbb{Z}^*,\times)\) n’est pas un groupe (exercice).
Soit \(H\) un sous-ensemble du groupe \(G\). On dit que \(H\) est un sous-groupe de \(G\) si : (1) \(\forall x,y\in H,\ x\star y\in H\) ; (2) \((H,\star)\) est un groupe.
Soit \(H\) un sous-ensemble de \(G\). Les 3 assertions suivantes sont équivalentes :
- \(H\) est un sous-groupe de \(G\) ;
- \(\forall x,y\in H,\ x\star y\in H\)，且 \(\forall x\in H,\ x^{-1}\in H\)，且 \(e\in H\) ;
- \(H\) est non vide et \(\forall x,y\in H,\ x\star y^{-1}\in H\).
Stratégie：在绝大多数习题中，要证明某集合配以运算构成群，只需证明它是某个已知群的子群，再用上述判据。
1. \((\mathbb{Z},+)\)、\((\mathbb{Q},+)\)、\((\mathbb{R},+)\) sont des sous-groupes de \((\mathbb{C},+)\).
2. \((\mathbb{Z}^*,\times)\)、\((\mathbb{Q}^*,\times)\)、\((\mathbb{R}^*,\times)\) sont des sous-groupes de \((\mathbb{C}^*,\times)\).
3. L’ensemble des matrices symétriques est un sous-groupe de \((M_n(\mathbb{A}),+)\).
4. L’ensemble des matrices de la forme \(\lambda I_n\) avec \(\lambda\in\mathbb{A}^*\) est un sous-groupe de \((GL_n(\mathbb{A}),\times)\).
Soit \(x\in G\). L’application \(n\mapsto x^n\) est un morphisme de \((\mathbb{Z},+)\) vers \((G,\star)\). Son image \(\{x^n,\ n\in\mathbb{Z}\}\) est appelée le sous-groupe engendré par \(x\). C’est le plus petit sous-groupe de \(G\) contenant \(x\). Si la loi est notée additivement, on écrit \(\{nx,\ n\in\mathbb{Z}\}\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（A.2）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| groupe / groupe abélien | 群 / 交换群（阿贝尔群） | 四公理 \((G_1)\)–\((G_4)\) |
| sous-groupe | 子群 | 判据 \(xy^{-1}\in H\) |
| sous-groupe engendré par \(x\) | 由 \(x\) 生成的子群 | \(\{x^n:n\in\mathbb{Z}\}\) |
| matrice symétrique | 对称矩阵 | \(A^t=A\) |
| matrice scalaire \(\lambda I_n\) | 纯量（数量）矩阵 |
A.3Anneaux, corps, intègres环、整环、域
Soit \(A\) un ensemble muni de deux lois \(+\) et \(\times\). \(\times\) est dite distributive sur \(+\) si :
\[\forall x,y,z\in A,\quad x\times(y+z)=(x\times y)+(x\times z)\ \text{ et }\ (x+y)\times z=(x\times z)+(y\times z).\]Soit \(A\) un ensemble muni de deux lois \(+\) et \(\times\). \((A,+,\times)\) est un anneau si :
- \((A_1)\) \((A,+)\) est un groupe abélien（加法交换群）；neutre noté \(0_A\) ;
- \((A_2)\) \(\times\) est associative ;
- \((A_3)\) \(\times\) est distributive sur \(+\) ;
- \((A_4)\) \(\times\) possède un élément neutre noté \(1_A\).
Exemple : \((\mathbb{Z},+,\times)\) est un anneau.
L’anneau \(A\) est dit intègre s’il est non trivial (\(A\neq\{0_A\}\)), commutatif et : \(\forall x,y\in A,\ xy=0 \Rightarrow (x=0 \text{ ou } y=0)\).
Soit \(K\) un anneau commutatif non trivial. \(K\) est un corps si \(K^{\times} = K\setminus\{0\}\)，即 tout élément non nul de \(K\) est inversible.
Un corps est un anneau intègre. La réciproque est fausse (exercice). Un anneau intègre et fini est un corps (exercice).
Exemple： \((\mathbb{Q},+,\times)\)、\((\mathbb{R},+,\times)\)、\((\mathbb{C},+,\times)\) sont des corps. \((\mathbb{Z},+,\times)\) est un anneau intègre mais n’est pas un corps.
Soit \(B\) un sous-ensemble de l’anneau \(A\). On dit que \(B\) est un sous-anneau de \(A\) si : (1) \((B,+)\) est un sous-groupe de \((A,+)\) ; (2) \(\forall x,y\in B,\ x\times y\in B\) ; (3) \(1_A\in B\). Dans ce cas \((B,+,\times)\) est lui-même un anneau.
Exemple： \((\mathbb{Z},+,\times)\)、\((\mathbb{Q},+,\times)\)、\((\mathbb{R},+,\times)\) sont des sous-anneaux de \((\mathbb{C},+,\times)\). L’ensemble des matrices triangulaires supérieures est un sous-anneau de \((M_n(\mathbb{A}),+,\times)\).
Soit \((A,+,\times)\) un anneau et \((a,b)\in A^2\) tel que \(ab=ba\). Alors pour tout \(n\in\mathbb{N}\) :
\[a^{n+1}-b^{n+1} = (a-b)\sum_{k=0}^{n} a^{\,n-k} b^{\,k}\quad(\text{identité géométrique / 等比恒等式}),\] \[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{\,n-k} b^{\,k}\quad(\text{formule du binôme / 二项式定理}).\]📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（A.3）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| distributive | 分配的 | 左右分配 |
| anneau | 环 | \((A_1)\)–\((A_4)\) |
| anneau intègre | 整环（无零因子） | 交换、非平凡、\(xy=0\Rightarrow x=0\) 或 \(y=0\) |
| corps | 域 | 每个非零元可逆 |
| sous-anneau | 子环 | 含 \(1_A\) |
| élément inversible \(A^\times\) | 可逆元 / 单位 | \(A^\times\)：\(A\) 中可逆元全体 |
| formule du binôme | 二项式定理 | 需 \(ab=ba\) |
A.4Morphismes de groupes群同态：像与核
On dit qu’une application \(\varphi:G\to G'\) est un morphisme de groupes si
\[\forall x,y\in G,\quad \varphi(x\star y)=\varphi(x)\star'\varphi(y).\]Un morphisme de groupes vérifie :
\[\varphi(e)=e',\qquad \forall x\in G,\ \varphi(x^{-1})=\varphi(x)^{-1}.\]1. L’application identité \((x\mapsto x)\) d’un groupe dans lui-même est un morphisme.
2. La composée de deux morphismes de groupes est un morphisme de groupes.
1. \(x\mapsto x^2\) 是群 \((\mathbb{R}^*,\times)\) 到自身的同态。
2. \(x\mapsto 2x\) 是群 \((\mathbb{R},+)\) 到自身的同态。
3. \(x\mapsto \exp(x)\) 是 \((\mathbb{R},+)\) 到 \((\mathbb{R}^*,\times)\) 的同态；\(x\mapsto\ln(x)\) 是 \((\mathbb{R}_+^*,\times)\) 到 \((\mathbb{R},+)\) 的同态。
4. \(A\mapsto\operatorname{tr}(A)\) 是群 \((M_n(\mathbb{A}),+)\) 到 \((\mathbb{R},+)\) 的同态。
5. \(x\mapsto x+1\) 不是群 \((\mathbb{R}^*,\times)\) 到自身的同态。
On dit qu’un morphisme \(\varphi:G\to G'\) est un isomorphisme de groupes s’il est bijectif. Si \(G=G'\) alors on dit que \(\varphi\) est un automorphisme.
Remarque： Si \(\varphi\) est un isomorphisme, alors sa réciproque \(\varphi^{-1}:G'\to G\) est aussi un morphisme (exercice).
L’image directe \(\varphi(H)\) d’un sous-groupe \(H\) de \(G\) est un sous-groupe de \(G'\). L’image réciproque \(\varphi^{-1}(H')\) d’un sous-groupe \(H'\) de \(G'\) est un sous-groupe de \(G\). (Exercices)
On appelle image de \(\varphi\) le sous-groupe \(\operatorname{Im}\varphi = \varphi(G)\) de \(G'\) et noyau de \(\varphi\) le sous-groupe \(\operatorname{Ker}\varphi = \varphi^{-1}(\{e'\})\) de \(G\).
1. L’ensemble des matrices de trace nulle est un sous-groupe de \((M_n(\mathbb{A}),+)\).
2. Le noyau du morphisme surjectif \(\exp:\mathbb{C}\to\mathbb{C}^*\) est le sous-groupe \(2\pi i\,\mathbb{Z}\) de \((\mathbb{C},+)\) ; il induit un morphisme surjectif de \((i\mathbb{R},+)\) sur \((U,\times)\) dont le noyau est encore \(2\pi i\,\mathbb{Z}\). Où \(U=\{z\in\mathbb{C},\,|z|=1\}\) est le noyau de \(z\mapsto|z|\).
Un morphisme \(\varphi\) est injectif si et seulement si \(\operatorname{Ker}(\varphi)=\{e\}\).
Soit \(n\in\mathbb{N}^*\). On pose \(\omega := e^{2i\pi/n}\). Le sous-groupe \(U_n\) de \((\mathbb{C}^*,\times)\) engendré par \(\omega\) est l’image du morphisme de groupes \(\varphi_\omega:\mathbb{Z}\to\mathbb{C}^*,\ n\mapsto\omega^n\); les éléments \(\omega^0=1,\omega,\dots,\omega^{n-1}\) de \(U_n\) sont les racines \(n\)-ièmes de l’unité dans \(\mathbb{C}\) ; \(U_n\) est le noyau du morphisme de groupes \(\mathbb{C}^*\to\mathbb{C}^*,\ z\mapsto z^n\). Le noyau de \(\varphi_\omega\) est le sous-groupe \(n\mathbb{Z}\) de \(\mathbb{Z}\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（A.4）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| morphisme de groupes | 群同态 | 保持运算 |
| isomorphisme / automorphisme | 同构 / 自同构 | 双射同态 |
| image \(\operatorname{Im}\varphi\) | 像 | |
| noyau \(\operatorname{Ker}\varphi\) | 核 | \(\varphi^{-1}(\{e'\})\) |
| racines \(n\)-ièmes de l’unité | \(n\) 次单位根 | 群 \(U_n\) |
| injectif | 单的（Injective） | \(\operatorname{Ker}\varphi=\{e\}\) |
A.5Morphismes d’anneaux & caractéristique环同态与环的特征
Soient \(A\) et \(A'\) deux anneaux. Un morphisme (ou homomorphisme) d’anneaux de \(A\) vers \(A'\) est un morphisme de groupes de \((A,+)\) vers \((A',+)\) vérifiant
\[\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)\quad\text{et}\quad \varphi(1_A)=1_{A'}\qquad(\text{A.5.1})\]pour tout \(x,y\in A\).
Soit \(\varphi:A\to A'\) un morphisme d’anneaux. Alors \(\varphi\) induit un morphisme de groupes de \((A^\times,\times)\) dans \((A'^\times,\times)\) ; en particulier \(\varphi(A^\times)\subset A'^\times\).
1. La conjugaison complexe \(z\mapsto\bar z\) est un morphisme de \(\mathbb{C}\) vers lui-même.
2. Le morphisme canonique \(\varphi:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\ k\mapsto k\!\!\pmod n\) est un morphisme d’anneaux.
Tout morphisme d’anneaux d’un corps dans un anneau non trivial est injectif.
On appelle encore noyau de \(\varphi\) l’ensemble \(\operatorname{Ker}\varphi=\{x\in A\,|\,\varphi(x)=0\}\). Comme \(\varphi\) peut être vu comme morphisme de groupes abéliens, \(\operatorname{Ker}\varphi\) est un sous-groupe de \((A,+)\) ; cependant, si \(A'\) n’est pas l’anneau trivial, \(\operatorname{Ker}\varphi\) n’est pas un sous-anneau de \(A\), car \(\varphi(1_A)=1_{A'}\), donc \(1_A\notin\operatorname{Ker}\varphi\).
Soit \((A,+,\times)\) un anneau. On appelle caractéristique de \(A\), notée \(\operatorname{car}(A)\), le plus petit entier \(n\in\mathbb{N}^*\) tel que
\[\underbrace{1_A+1_A+\cdots+1_A}_{n\ \text{fois}} = 0_A.\]Si un tel entier n’existe pas, on dit que \(A\) est de caractéristique nulle.
\(\operatorname{car}(\mathbb{Z})=\operatorname{car}(\mathbb{Q})=\operatorname{car}(\mathbb{R})=\operatorname{car}(\mathbb{C})=0\). Pour \(n\ge 2\), \(\operatorname{car}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})=n\).
Si \(\operatorname{car}(A)=n>0\), alors pour tout \(a\in A\), \(n\cdot a = 0_A\). De plus, l’application \(\varphi:\mathbb{Z}\to A,\ k\mapsto k\cdot 1_A\) est un morphisme d’anneaux dont le noyau est \(n\mathbb{Z}\).
Soit \(A\) un anneau commutatif de caractéristique \(2\). Pour tout \(x\in A\), on a \(x=-x\). Pour tous \(x,y\in A\), on a \((x+y)^2 = x^2+y^2\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（A.5）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| morphisme d’anneaux | 环同态 | 加法同态 + 保持乘法 + 保 \(1\) |
| conjugaison complexe | 复共轭 | \(z\mapsto\bar z\) |
| caractéristique \(\operatorname{car}(A)\) | （环的）特征 | 最小的 \(n\) 使 \(n\cdot1=0\) |
| \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) | 模 \(n\) 剩余类环 |
I-1Opérations sur les matrices矩阵的加法、乘法与数乘
Soit \(n,p,q\in\mathbb{N}\). \(A\in M_{n,p}(\mathbb{A})\), \(B\in M_{n,p}(\mathbb{A})\), alors \(A+B\in M_{n,p}(\mathbb{A})\) avec
\[(A+B)_{[i,j]} = A_{[i,j]} + B_{[i,j]}.\]\(A\in M_{n,p}(\mathbb{A})\), \(B\in M_{p,q}(\mathbb{A})\), alors \(A\times B\in M_{n,q}(\mathbb{A})\) avec
\[(A\times B)_{[i,j]} = \sum_{k=1}^{p} A_{[i,k]}\,B_{[k,j]}.\]\(A\in M_{n,p}(\mathbb{A})\), \(\lambda\in\mathbb{A}\), alors \(\lambda\cdot A\in M_{n,p}(\mathbb{A})\) avec
\[(\lambda\cdot A)_{[i,j]} = \lambda\cdot A_{[i,j]}.\]Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ -1 & 4\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 5 & -2\\ 0 & 7\end{pmatrix}\).
- Addition : \(A+B = \begin{pmatrix} 7 & 1\\ -1 & 11\end{pmatrix}\).
- Produit : \(AB = \begin{pmatrix} 2\cdot5+3\cdot0 & 2\cdot(-2)+3\cdot7\\ (-1)\cdot5+4\cdot0 & (-1)\cdot(-2)+4\cdot7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 17\\ -5 & 30\end{pmatrix}\).
- Scalaire（\(\lambda=-3\)）: \(-3A = \begin{pmatrix} -6 & -9\\ 3 & -12\end{pmatrix}\).
〔图：PPT 把两矩阵按行对列的网格排布，每个格子为 \(A\) 的一行与 \(B\) 的一列内积〕
Soit \(A = \begin{pmatrix} 6 & -10 & 0\\ -7 & 2 & 3\\ 5 & 8 & 0\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 9 & 0\\ -2 & 12 & 1\\ 3 & 0 & -1\end{pmatrix}\). En disposant les matrices comme dans la méthode, on obtient :
\[AB = \begin{pmatrix} 20 & -66 & -10\\ 5 & -39 & -1\\ -16 & 141 & 8\end{pmatrix}.\]📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-1）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| matrice \(A\in M_{n,p}(\mathbb{A})\) | 矩阵 | \(n\) 行 \(p\) 列 |
| coefficient \(A_{[i,j]}\) | （矩阵）元素 | 第 \(i\) 行第 \(j\) 列 |
| addition / multiplication / scalaire | 加法 / 乘法 / 数乘 | |
| taille \(n\times p\) | 矩阵的型（尺寸） | 乘法要求 \(A\) 列数=\(B\) 行数 |
I-2Propriétés, \(GL_n\), matrice inverse矩阵运算性质、一般线性群与逆矩阵
- \((M_{n,p}(\mathbb{A}),+)\) est un groupe abélien.
- La multiplication est associative : \(\forall A\in M_{m,n}(\mathbb{A}), B\in M_{n,p}(\mathbb{A}), C\in M_{p,q}(\mathbb{A})\), \(A(BC)=(AB)C=ABC\).
- La multiplication est distributive sur l’addition : \(\forall A,A'\in M_{n,p}(\mathbb{A}), B,B'\in M_{p,q}(\mathbb{A})\), \(A(B+B')=AB+AB'\) et \((A+A')B=AB+A'B\).
- Pour l’identité : \(\forall A\in M_{n,p}(\mathbb{A})\), \(I_n A = A I_p\).
Preuve : Exercice.
\((M_n(\mathbb{A}),+,\times)\) est un anneau dont l’unité est \(I_n\).
Si \(n>1\), l’anneau \(M_n(\mathbb{A})\) n’est pas commutatif (en particulier il est non intègre). En effet : \(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\), \(B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\). On a \(AB=B\) et \(BA=O_2\).
Le produit de deux matrices diagonales dans \(M_n(\mathbb{A})\) est aussi diagonale. Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est aussi triangulaire supérieure. Énoncé analogue pour les triangulaires inférieures.
Soit \(A\in M_n(\mathbb{A})\) une matrice inversible. On note \(A^{-1}\) son inverse : \(AA^{-1}=A^{-1}A=I_n=\begin{pmatrix}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\ \vdots&&\ddots&\\0&0&\cdots&1\end{pmatrix}\).
Le groupe des éléments inversibles de \(M_n(\mathbb{A})\) est appelé groupe linéaire de degré \(n\) sur \(\mathbb{A}\), noté \(GL_n(\mathbb{A})\).
1. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & 3\end{pmatrix}\) est inversible dans \(M_2(\mathbb{Z})\), d’inverse \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-2\\-1&1\end{pmatrix}\)（car \(\det A = 1\)）.
2. \(B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 2 & 3\end{pmatrix}\) est inversible dans \(M_2(\mathbb{Q})\), d’inverse \(B^{-1}=\begin{pmatrix}3/4&-1/4\\-1/2&1/2\end{pmatrix}\). Mais \(B\) n’est pas inversible dans \(M_2(\mathbb{Z})\), car \(B^{-1}\notin M_2(\mathbb{Z})\).
3. \(\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\) et \(\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\) ne sont pas inversibles dans \(M_2(\mathbb{C})\) (exercice).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-2）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| groupe linéaire \(GL_n(\mathbb{A})\) | 一般线性群 | \(n\) 阶可逆矩阵全体 |
| matrice identité \(I_n\) | 单位矩阵 | |
| matrice inverse \(A^{-1}\) | 逆矩阵 | \(AA^{-1}=I_n\) |
| matrice diagonale / triangulaire | 对角矩阵 / 三角矩阵 |
I-3La trace矩阵的迹
On appelle trace d’une matrice \(A\in M_n(\mathbb{A})\) la somme de ses coefficients diagonaux, notée \(\operatorname{tr}(A)\) :
\[\operatorname{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i,i}.\]\(A = \begin{pmatrix} 7 & 6 & 2\\ 2 & -33 & -1\\ -12 & 6 & 6\end{pmatrix}\). Calculer \(\operatorname{tr}(A)\) : \(\operatorname{tr}(A)=7-33+6=-20\).
Soit \(\lambda,\mu\in\mathbb{A}\), \(A,B\in M_n(\mathbb{A})\). Alors
- \(\operatorname{tr}(\lambda A+\mu B)=\lambda\operatorname{tr}(A)+\mu\operatorname{tr}(B)\)（linéarité / 线性）;
- \(\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA)\) ;
- \(\operatorname{tr}(A^t)=\operatorname{tr}(A)\).
Preuve : Exercice.
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-3）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| trace \(\operatorname{tr}(A)\) | 迹 | 对角元素之和 |
| linéarité | 线性 |
I-4La transposée转置
1. Soit \(\lambda,\mu\in\mathbb{A}\), \(A,B\in M_{n,p}(\mathbb{A})\), alors \((\lambda A+\mu B)^t = \lambda A^t + \mu B^t\).
2. Soit \(A\in M_{n,p}(\mathbb{A})\), \(B\in M_{p,q}(\mathbb{A})\), alors \((AB)^t = B^t A^t\).
Soit \(k\in\{1,\dots,q\}\), \(i\in\{1,\dots,n\}\). On a, puisque \(\mathbb{A}\) est commutatif :
\[(B^t A^t)_{[k,i]} = \sum_{j=1}^{p} B^t_{[k,j]} A^t_{[j,i]} = \sum_{j=1}^{p} B_{[j,k]} A_{[i,j]} = \sum_{j=1}^{p} A_{[i,j]} B_{[j,k]} = (AB)_{[i,k]} = (AB)^t_{[k,i]}.\]Soit \(A\in M_n(\mathbb{A})\). Si \(A\) est inversible, alors \(A^t\) est inversible et \((A^t)^{-1} = (A^{-1})^t\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（I-4）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| transposée \(A^t\) | 转置（矩阵） | \((AB)^t=B^tA^t\) |
| (corps/anneau) commutatif | 交换的（环/域） | 证明 \((AB)^t\) 用到 |
II-1Systèmes linéaires et matrice augmentée线性方程组与增广矩阵、高斯消元实例
Soient \(n,p\in\mathbb{N}^*\). Considérons un système linéaire de \(n\) équations à \(p\) inconnues:
\[\\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1p}x_p = b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2p}x_p = b_2\\ \vdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{np}x_p = b_n\end{cases}\]où \(a_{ij}, b_i\in K\). On définit \(A=(a_{ij})\in M_{n,p}(K)\), \(X=\begin{pmatrix}x_1\\ \vdots\\ x_p\end{pmatrix}\in M_{p,1}(K)\), \(B=\begin{pmatrix}b_1\\ \vdots\\ b_n\end{pmatrix}\in M_{n,1}(K)\). Alors le système est équivalent à l’équation matricielle :
\[AX = B.\]Considérons le système :
\[\\begin{cases} x+y+z = 6\\ 2x-y+z = 3\\ x+2y-z = 2\\ 3x+y+2z = 11\end{cases}\]On forme la matrice augmentée \((A|B)\) :
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 2 & -1 & 1 & 3\\ 1 & 2 & -1 & 2\\ 3 & 1 & 2 & 11\end{array}\right).\]Élimination sous le pivot \(a_{11}=1\)：\(L_2\leftarrow L_2-2L_1,\ L_3\leftarrow L_3-L_1,\ L_4\leftarrow L_4-3L_1\)
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & -3 & -1 & -9\\ 0 & 1 & -2 & -4\\ 0 & -2 & -1 & -7\end{array}\right).\]Élimination sous le pivot \(a_{22}=-3\)：\(L_3\leftarrow L_3+\tfrac{1}{3}L_2,\ L_4\leftarrow L_4-\tfrac{2}{3}L_2\)
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & -3 & -1 & -9\\ 0 & 0 & -7/3 & -7\\ 0 & 0 & -5/3 & -5\end{array}\right).\]Élimination sous le pivot \(a_{33}=-7/3\)：\(L_4\leftarrow L_4-\tfrac{5}{7}L_3\)
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & -3 & -1 & -9\\ 0 & 0 & -7/3 & -7\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right).\]Résolution par remontée (回代)：由第 3 行 \(-\tfrac73 z = -7 \Rightarrow z=3\)；第 2 行 \(-3y-z=-9 \Rightarrow -3y = -6 \Rightarrow y=2\)；第 1 行 \(x+y+z=6 \Rightarrow x=1\). L’unique solution est \((x,y,z)=(1,\,2,\,3)\).
Un système d’équations linéaires peut aussi n’avoir aucune solution ou une infinité de solutions（见讲义 2.3）.
- Matrice augmentée 增广矩阵：把系数与常数列并排。
- Opérations élémentaires 初等行变换（不改变解集）：①交换两行 \(L_i\leftrightarrow L_j\)；②某行乘非零常数 \(L_i\leftarrow\lambda L_i\)（\(\lambda\ne0\)）；③某行加上另一行的倍数 \(L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j\)。
- Pivot de Gauss 主元：用每行第一个非零元素消去其下方元素。
- Système échelonné 阶梯形：得"上三角"式矩阵，每行首非零元素位置逐行右移。
- Remontée 回代：自下而上解出 \(x_p, x_{p-1}, \dots, x_1\)。
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-1）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| matrice augmentée \((A|B)\) | 增广矩阵 | |
| opération élémentaire | 初等（行）变换 | 交换 / 倍乘 / 倍加 |
| pivot | 主元（枢轴） | |
| système échelonné | 阶梯形方程组 | |
| résolution par remontée | 回代求解 |
II-2Matrices élémentaires初等矩阵：置换、倍乘、倍加
On note \(E_{i,j}\in M_n(K)\) la matrice définie par \(E_{i,j}[k,\ell] = \begin{cases}1 & \text{si } (k,\ell)=(i,j),\\ 0 & \text{sinon.}\end{cases}\) Un calcul immédiat montre que \(E_{i,j}\times E_{k,\ell} = \delta_{j,k}\, E_{i,\ell}\), où \(\delta_{j,k}=\begin{cases}1&\text{si }j=k\\0&\text{sinon}\end{cases}\)（symbole de Kronecker / 克罗内克符号）.
Soient \(i,j\in\{1,\dots,n\}\) et \(\lambda\in K^*\). Les matrices carrées suivantes sont appelées matrices élémentaires:
- matrices de permutation 置换矩阵 \(P_{i,j}\)：把 \(I_n\) 的第 \(i\) 行与第 \(j\) 行交换得到；
- matrices de dilatation 倍乘矩阵 \(D_i(\lambda)\)：把 \(I_n\) 的第 \(i\) 行乘 \(\lambda\) 得到；
- matrices de transvection 倍加矩阵 \(T_{i,j}(\lambda)\)（\(i\ne j\)）：在 \(I_n\) 上做 \(L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j\) 得到。
On peut écrire : \(P_{i,j}=I_n - E_{i,i}-E_{j,j}+E_{i,j}+E_{j,i}\)，\(D_i(\lambda)=I_n+(\lambda-1)E_{i,i}\)，\(T_{i,j}(\lambda)=I_n+\lambda E_{i,j}\).
〔图：\(P_{i,j}\) 是把 \(I_n\) 的第 \(i,j\) 个对角 \(1\) 移到副对角交叉处；\(D_i(\lambda)\) 是把第 \(i\) 个对角元换为 \(\lambda\)；\(T_{i,j}(\lambda)\) 是在第 \(i\) 行第 \(j\) 列添加 \(\lambda\)〕
例如 \(P_{1,3}=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}\), \(D_2(\lambda)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&1\end{pmatrix}\), \(T_{1,3}(\lambda)=\begin{pmatrix}1&0&\lambda\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\).
Soit \(A\in M_{n,p}(K)\).
- 对 \(A\) 做 \(L_i\leftrightarrow L_j\) 等价于左乘 \(P_{i,j}\)；
- 对 \(A\) 做 \(L_i\leftarrow\lambda L_i\)（\(\lambda\in K^*\)）等价于左乘 \(D_i(\lambda)\)；
- 对 \(A\) 做 \(L_i\leftarrow L_i+\lambda L_j\) 等价于左乘 \(T_{i,j}(\lambda)\)。
Les opérations élémentaires sur les colonnes de \(A\) se déduisent par transposée, et se traduisent par la multiplication à droite de \(A\) par les matrices élémentaires (éléments de \(M_p(K)\)).
Les matrices élémentaires sont inversibles et
\[P_{i,j}^{-1}=P_{i,j},\qquad D_i(\lambda)^{-1}=D_i(\lambda^{-1}),\qquad T_{i,j}(\lambda)^{-1}=T_{i,j}(-\lambda).\]En particulier un produit de matrices élémentaires est inversible.
Soient \(A\in M_{n,p}(K)\), \(B\in M_{n,1}(K)\), \(X\in M_{p,1}(K)\). Si \(P\in GL_n(K)\), alors
\[AX=B \iff (PA)X = PB.\]Remarque：Le corollaire et cette proposition montrent qu’en effectuant une suite finie de transformations élémentaires sur un système linéaire, on obtient un système possédant les mêmes solutions.
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-2）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| matrice élémentaire | 初等矩阵 | 置换 / 倍乘 / 倍加 |
| permutation \(P_{i,j}\) | 置换矩阵 | 换两行 |
| dilatation \(D_i(\lambda)\) | 倍乘矩阵 | |
| transvection \(T_{i,j}(\lambda)\) | 倍加矩阵 | \(i\ne j\) |
| symbole de Kronecker \(\delta_{j,k}\) | 克罗内克符号 |
II-3Échelonnement et rang阶梯形、Gauss-Jordan 与秩
Une matrice est dite échelonnée（阶梯形）si :
- toutes les lignes nulles sont en bas ;
- dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non nul（pivot 主元）est strictement à droite du pivot de la ligne du dessus.
Si en plus les pivots valent \(1\) et sont les seuls coefficients non nuls de leur colonne, on parle de matrice échelonnée réduite（简化阶梯形）.
- \(M_1=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&2&1&5\\0&0&3&6\\0&0&0&0\end{pmatrix}\) : échelonnée（阶梯形，主元 \(1,2,3\) 逐行右移）；
- \(M_2=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&0&5&6\\0&7&8&9\\0&0&0&0\end{pmatrix}\) : non échelonnée（第 3 行主元在第 2 列，比第 2 行主元所在的第 3 列更靠左）；
- \(M_3=\begin{pmatrix}1&0&0&2\\0&1&0&-1\\0&0&1&3\\0&0&0&0\end{pmatrix}\) : échelonnée réduite（主元均为 \(1\)，且是其列中唯一非零元）。
Soit \(A\in M_{n,p}(K)\). Il existe des matrices de transvection \(T_1,\dots,T_N\) et une matrice de dilatation \(D=D_n(\lambda)\)（\(\lambda\in K\setminus\{0\}\)）dans \(M_n(K)\) telles que \(D\,T_N\cdots T_1\,A\) soit échelonnée réduite.
Preuve : technique, voir polycopié (Propositions 2.2.3 à 2.2.8).
Soit \(A\in M_{n,p}(K)\). Soient \(P_1\) et \(P_2\in GL_n(K)\) telles que \(P_1 A\) et \(P_2 A\) soient échelonnées réduites. Alors \(P_1 A = P_2 A\).
Par les deux propositions, la matrice échelonnée réduite obtenue à partir de \(A\) est unique ; on la note \(GJ(A)\). On définit les pivots de \(A\) comme les pivots de \(GJ(A)\). On appelle rang de \(A\), noté \(\operatorname{rg}(A)\), le nombre de pivots de \(A\).
La preuve est constructive, on peut donc écrire un algorithme (Algorithme de Gauss-Jordan / 高斯-若尔当算法) transformant une matrice donnée \(A\) en une matrice échelonnée réduite au moyen d’opérations élémentaires sur les lignes (voir Annexe D).
Donner le rang de \(A\) sachant que \(GJ(A)=\begin{pmatrix}1&2&0&3&0\\0&0&1&-1&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\).
Les pivots sont \(1,1,1\)（位于第 1、3、5 列）, donc \(\operatorname{rg}(A)=3\).
Méthode：用高斯算法把 \(A\) 化阶梯形，再数主元个数。
Soit \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}\). Après \(L_2\leftarrow L_2-4L_1,\ L_3\leftarrow L_3-7L_1\)（得第 2 行 \((0,-3,-6)\)、第 3 行 \((0,-6,-12)\)），puis \(L_3\leftarrow L_3-2L_2\)，on obtient
\[\begin{pmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{pmatrix}.\]La forme échelonnée possède deux pivots, donc \(\operatorname{rg}(A)=2\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-3）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| échelonnée (réduite) | 阶梯形（简化阶梯形） | |
| \(GJ(A)\) | （\(A\) 的）简化阶梯形 | 唯一 |
| rang \(\operatorname{rg}(A)\) | 秩 | 主元个数 |
| algorithme de Gauss-Jordan | 高斯–若尔当算法 |
II-4Compatibilité des systèmes方程组的相容性（有解性）
On considère l’équation matricielle \(AX=B\).
- Si le système n’admet pas de solution, il est incompatible（不相容 / 无解）；si au moins une solution, compatible（相容 / 有解）.
- On appelle système homogène（齐次方程组）associé à \(AX=B\) l’équation \(AX=0\)（即 \(B=0\)）.
Le système \(AX=B\) est compatible si et seulement si \(\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(\tilde A)=r\), où \(\tilde A = (A|B)\) est la matrice augmentée. De plus :
- si \(r=p\), le système possède une unique solution（唯一解）；
- si \(r
- si on connaît une solution particulière \(X_0\) de \(AX=B\), alors tout autre solution s’écrit \(X = X_0 + Y\) où \(Y\) est solution du système homogène \(AY=0\).
La méthode (l’algorithme de Gauss) revient à : considérer la matrice augmentée \((A|B)\in M_{n,p+1}(K)\), la multiplier à gauche par un produit de matrices élémentaires \(P\)（opérations élémentaires sur les lignes et utilisation des pivots）pour se ramener à \(GJ(A)\,X = PB\), où \(GJ(A)=PA\) est échelonnée réduite ; puis résoudre par remontée.
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-4）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| compatible / incompatible | 相容（有解）/ 不相容（无解） | |
| système homogène | 齐次方程组 | \(AX=0\) |
| solution particulière | 特解 | 通解 = 特解 + 齐次解 |
II-5Matrices inversibles et équivalence可逆矩阵的等价条件、求逆、等价标准形
Soit \(A\in M_n(K)\). Les conditions suivantes sont équivalentes :
- (i) \(A\) est inversible ;
- (ii) si \(AX=0\)（\(X\in M_{n,1}(K)\)）, alors \(X=0\) ;
- (iii) quelle que soit la matrice colonne \(B\in M_{n,1}(K)\), il existe \(X\in M_{n,1}(K)\) vérifiant \(AX=B\) ;
- (iv) le rang de \(A\) est égal à \(n\) ;
- (v) \(GJ(A)=I_n\) ;
- (vi) il existe des matrices de transvection \(T_1,\dots,T_N\) et une matrice de dilatation \(D\) telles que \(A=T_1\cdots T_N D\).
Corollaire : Soient \(A,A'\in M_n(\mathbb{A})\) telles que \(AA'=I_n\). Alors \(A\) est inversible et \(A^{-1}=A'\).
Soit \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{pmatrix}\). On forme la matrice augmentée \([A|I_3]\) et on applique des opérations élémentaires pour transformer \(A\) en \(I_3\). La partie droite devient alors \(A^{-1}\).
\[ \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&4&0&1&0\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right) \xrightarrow{R_2\to R_2-4R_3} \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&3&1&0&0\\0&1&0&0&1&-4\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right) \] \[ \xrightarrow{R_1\to R_1-3R_3} \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0&1&0&-3\\0&1&0&0&1&-4\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right) \xrightarrow{R_1\to R_1-2R_2} \left(\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&1&-2&5\\0&1&0&0&1&-4\\0&0&1&0&0&1\end{array}\right) \]On conclut \(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&5\\0&1&-4\\0&0&1\end{pmatrix}\).
Secret du tour de magie 原理：对 \(I_n\) 施加与对 \(A\) 完全相同的行变换，即得 \(E_1\cdots E_\ell I_n = E_1\cdots E_\ell = A^{-1}\)。
On dit que deux matrices \(A,B\in M_{n,p}(K)\) sont équivalentes s’il existe \(P\in GL_n(K)\) et \(Q\in GL_p(K)\) telles que \(B=PAQ\).
Remarque : Cette relation est une relation d’équivalence (exercice).
Dans \(M_{n,p}(K)\), on note \(J_r\) la matrice présentée par blocs \(\begin{pmatrix} I_r & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}\), avec \(0\le r\le\min(n,p)\).
Soient \(A,B\in M_{n,p}(K)\).
- Les conditions suivantes sont équivalentes : (i) \(A\sim B\) ; (ii) \(B\) s’obtient de \(A\) au moyen d’une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes ; (iii) \(A\) et \(B\) ont même rang.
- Dans chaque classe d’équivalence relative à \(\sim\), il existe une unique matrice \(J_r\), avec \(0\le r\le\min(n,p)\).
Corollaire : Soit \(A\in M_{n,p}(K)\). Alors \(r=\operatorname{rg}(A)\) si et seulement s’il existe \(P\in GL_n(K)\), \(Q\in GL_p(K)\) telles que \(A=PJ_rQ\). La matrice \(A\) et sa transposée \(A^t\) ont même rang.
Le rang de \(A\) est la taille maximale d’une matrice carrée inversible extraite de \(A\).（秩 = \(A\) 中可提取的最大可逆方阵的阶数，即最大非零子式的阶。）
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（II-5）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| matrices équivalentes \(B=PAQ\) | 等价矩阵 | |
| système de Cramer | 克莱默（方阵可逆）方程组 | \(n\) 元 \(n\) 方程，\(A\) 可逆 |
| matrice standard \(J_r\) | 等价标准形 | \(\begin{pmatrix}I_r&0\\0&0\end{pmatrix}\) |
| théorème du rang | 秩定理 |
III-1Division euclidienne et algorithme d’Euclide带余除法、进位制与辗转相除法
Soit \((a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}^*\). Il existe un unique couple d’entiers \((q,r)\) tel que
\[a = bq + r \quad\text{et}\quad 0\le r < b.\qquad(3.1.1)\]Les entiers \(q\) et \(r\) sont respectivement le quotient（商）et le reste（余数）.
Unicité : si \((q,r)\) et \((q',r')\) conviennent, alors \(b|q-q'| = |r-r'| < b\), d’où \(q=q'\) puis \(r=r'\).
Existence : par récurrence sur \(a\)（\(a\ge0\)）; puis on traite \(a<0\) en posant \(-a=bq'+r'\) — si \(r'=0\) alors \((q,r)=(-q',0)\), sinon \((q,r)=(-q'-1,\,b-r')\).
Soit \(b\in\mathbb{N}^*\setminus\{1\}\). Tout entier naturel non nul \(a\) se développe de façon unique sous la forme
\[a = a_0 + a_1 b + a_2 b^2 + \cdots + a_n b^n \qquad(3.1.3)\]avec \(n\in\mathbb{N}\), \(0\le a_i < b\), et \(a_n\ne0\).
La base \(10\) correspond à l’écriture décimale usuelle; par exemple \(c = 299\,792\,458 = 8 + 5\cdot10 + 4\cdot10^2 + 2\cdot10^3 + 9\cdot10^4 + 7\cdot10^5 + 9\cdot10^6 + 9\cdot10^7 + 2\cdot10^8\). Les bases \(2\) et \(16\) sont fréquentes en informatique : en base \(2\) on n’utilise que \(0,1\) ; en base \(16\), les entiers \(10\) à \(15\) sont notés \(A,B,C,D,E,F\).
Écrire \(47\) en base \(3\) : divisions successives par \(3\) : \(47=3\times15+2\), \(15=3\times5+0\), \(5=3\times1+2\), \(1=3\times0+1\). On lit les restes de bas en haut : \(1,2,0,2\). Donc \(47_{10}=1202_{3}\). Vérification : \(1\cdot3^3+2\cdot3^2+0\cdot3+2\cdot3^0=27+18+0+2=47\). Autre exemple : \(13_{10}=111_{3}\) car \(1\cdot9+1\cdot3+1\cdot1=13\).
S’il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(a=bk\), on dit que \(b\) divise \(a\), noté \(b\mid a\).
Le plus grand diviseur commun de deux entiers \(a,b\) est noté \(d=\operatorname{PGCD}(a,b)\)（也记作 \(a\wedge b\)）.
Le PGCD de \(a\) et \(b\) est l’unique entier positif \(d\in\mathbb{N}\) vérifiant : (i) \(d\mid a\) et \(d\mid b\) ; (ii) \(\forall d'\in\mathbb{Z},\ d'\mid a\) et \(d'\mid b \Rightarrow d'\mid d\).
Soient \(a,b,q,r\) des entiers tels que \(a=bq+r\). Alors les diviseurs communs de \(a\) et \(b\) sont les mêmes que ceux de \(b\) et \(r\).
Par suite, pour \((a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}^*\), si \(r\) est le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\), alors \(\operatorname{PGCD}(a,b)=\operatorname{PGCD}(b,r)\).
Pour calculer \(d=\operatorname{PGCD}(a,b)\), on pose \(a_0=\max(|a|,|b|)\), \(a_1=\min(|a|,|b|)\), puis on effectue des divisions euclidiennes successives :
\[a_{k-1}=q_k\,a_k + a_{k+1},\quad 0\le a_{k+1}Calculons \(\operatorname{PGCD}(162,207)\):
\[207=1\times162+45,\quad 162=3\times45+27,\quad 45=1\times27+18,\] \[27=1\times18+9,\quad 18=2\times9+0.\]Donc \(\operatorname{PGCD}(207,162)=9\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（III-1）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| division euclidienne | 带余除法 | |
| quotient / reste | 商 / 余数 | |
| numération en base \(b\) | \(b\) 进制 | |
| diviser / divisible / multiple \(b\mid a\) | 整除 / 被整除 / 倍数 | |
| PGCD (\(a\wedge b\)) | 最大公约数 | |
| algorithme d’Euclide | 辗转相除法（欧几里得算法） |
III-2Théorème de Bézout & équations diophantiennes裴蜀定理、素互与不定方程
Soient \(a\) et \(b\) des entiers. Il existe des entiers \(u\) et \(v\) tels que
\[au + bv = a\wedge b.\]Remarque : On peut présenter l’algorithme d’Euclide sous forme matricielle（见讲义）.
Trouver \(u,v\in\mathbb{Z}\) tels que \(207u + 162v = 9\). En remontant l’algorithme d’Euclide :
\[9 = 27 - 18 = 27 - (45-27) = 2\cdot27 - 45\] \[= 2(162 - 3\cdot45) - 45 = 2\cdot162 - 7\cdot45\] \[= 2\cdot162 - 7(207 - 162) = 9\cdot162 - 7\cdot207.\]Donc \(207\times(-7) + 162\times 9 = -1449 + 1458 = 9\). Ainsi \(u=-7\) et \(v=9\).
Des entiers \(a\) et \(b\) sont dits premiers entre eux si \(a\wedge b = 1\)（on dit aussi \(a\) est premier avec \(b\)）.
Corollaire : \(a\wedge b=1 \iff \exists u,v,\ au+bv=1\).
Proposition : Soient \(a,b,c\in\mathbb{Z}\). Si \(a\wedge b=1\) et \(a\wedge c=1\), alors \(a\wedge bc=1\). Si \(a\wedge b=1\), \(a\mid c\) et \(b\mid c\), alors \(ab\mid c\).
Lemme de Gauss : Si \(a\wedge b=1\) et \(a\mid bc\), alors \(a\mid c\).
Soit \(a,b\in\mathbb{Z}\) et \(d=a\wedge b\). Alors il existe \(a',b'\in\mathbb{Z}\) tels que \(a=a'd\), \(b=b'd\) et \(a'\wedge b'=1\).
Pour résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) \((E): ax+by=c\). On détermine \(d=a\wedge b\) : si \(d\nmid c\), pas de solution ; sinon on se ramène à \(a'x+b'y=c'\) avec \(a'\wedge b'=1\). On trouve un particulier \((x_0,y_0)\) via Bézout, puis
\[a'(x-x_0) = -b'(y_0-y),\]et le lemme de Gauss donne \(b'\mid(x-x_0)\). Les solutions sont \(\mathcal{S}=\{(b'k+x_0,\ y_0-a'k)\;|\;k\in\mathbb{Z}\}\).
Résoudre dans \(\mathbb{Z}^2\) : \((E): 9x+15y=18\). Avec Euclide, \(15\wedge 9=3\). Comme \(3\mid18\), \((E)\) admet des solutions et est équivalente à \((E'): 3x+5y=6\)（où \(3\wedge5=1\)）.
Partons de Bézout : \(1 = 3\times2 - 5\times1\), donc \(3\times12 - 5\times6 = 6\) — solution particulière \((x_0,y_0)=(12,-6)\). Alors
\[3(x-12) = -5(y+6).\]Comme \(3\wedge5=1\), le lemme de Gauss donne \(3\mid(y+6)\) : il existe \(k\in\mathbb{Z}\) tel que \(y+6=3k\), donc \(y=3k-6\) et \(x-12=-5k\), i.e. \(x=12-5k\).
\(\mathcal{S}=\{(12-5k,\ 3k-6)\;|\;k\in\mathbb{Z}\}\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（III-2）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| théorème de Bézout | 裴蜀（Bézout）定理 | \(au+bv=a\wedge b\) |
| premiers entre eux | 互素（互质） | \(a\wedge b=1\) |
| lemme de Gauss | 高斯引理 | \(a\wedge b=1,a\mid bc\Rightarrow a\mid c\) |
| équation diophantienne | 不定方程（丢番图方程） |
III-3PPCM et décomposition en facteurs premiers最小公倍数与素因数分解
Soient \(a,b\) des entiers. Il existe un unique entier positif \(m\) vérifiant : (1) \(a\mid m\) et \(b\mid m\), (2) tout multiple commun de \(a\) et \(b\) est un multiple de \(m\). Cet entier \(m\) est le plus petit commun multiple, noté \(\operatorname{PPCM}(a,b)\) ou \(a\vee b\).
Soient \(a\) et \(b\) des entiers. Alors \(|ab| = (a\wedge b)(a\vee b)\).
Le bus A et le bus B partent d’une même station à 7h00. Le bus A repasse toutes les \(12\) minutes, le bus B toutes les \(18\) minutes. Quand se retrouvent-ils ?
Il faut le \(\operatorname{PPCM}(12,18)\). D’abord \(\operatorname{PGCD}(12,18)\) : \(18=12\times1+6\), \(12=6\times2+0\), donc \(12\wedge18=6\). Alors
\[12\vee18 = \frac{12\times18}{12\wedge18} = \frac{216}{6} = 36.\]Les deux bus se retrouveront après \(36\) minutes, donc à 7h36.
On appelle nombre premier tout entier naturel distinct de \(1\) dont les seuls diviseurs dans \(\mathbb{N}\) sont \(1\) et lui-même.
Soient \(a,b\) des entiers et \(p\) un nombre premier. Si \(p\mid ab\), alors \(p\mid a\) ou \(p\mid b\).
Tout entier naturel \(a\ge2\) se décompose en un produit de nombres premiers; cette décomposition est unique à l’ordre des facteurs près. Autrement dit, pour tout \(a\in\mathbb{N}\setminus\{0,1\}\), il existe une unique suite finie croissante de nombres premiers \((p_1,\dots,p_n)\) telle que \(a=p_1\cdots p_n\).
Il existe une infinité de nombres premiers.
Preuve : par l’absurde — si les premiers étaient \(p_1,\dots,p_N\), posons \(a=p_1\cdots p_N+1\); aucun \(p_i\) ne divise \(a\), donc \(a\) n’admet pas de facteur premier : contradiction.
Soit \(P\) l’ensemble des nombres premiers. Pour \(a\in\mathbb{N}^*\) et \(p\in P\), on note \(v_p(a)\) le plus grand entier \(k\) tel que \(p^k\mid a\). Alors \(a=\prod_{p\in P} p^{\,v_p(a)}\). (3.2.1)
On vérifie : \(v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)\), \(v_p(a\wedge b)=\min(v_p(a),v_p(b))\), \(v_p(a\vee b)=\max(v_p(a),v_p(b))\).
On décompose \(12\) et \(18\): \(12=2^2\times3\), \(18=2\times3^2\). Pour le PPCM, on prend tous les facteurs premiers avec le plus grand exposant : \(12\vee18 = 2^2\times3^2 = 4\times9 = 36\).
Remarque : si un facteur apparaît dans l’un mais pas l’autre, son exposant dans l’autre vaut \(0\). Par ex. \(12=2^2\cdot3\), \(50=2\cdot5^2\), alors \(12\vee50 = 2^2\cdot3\cdot5^2 = 4\cdot3\cdot25 = 300\).
Soit \(r=\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}\). Montrer qu’il existe un couple \((a',b')\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}^*\), unique, tel que \(r=\frac{a'}{b'}\) et \(a'\wedge b'=1\) (forme irréductible / 最简分数). En déduire que \(\sqrt2\notin\mathbb{Q}\), à l’aide de la \(2\)-valuation \(v_2\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（III-3）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| PPCM \((a\vee b)\) | 最小公倍数 | \(|ab|=\text{PGCD}\cdot\text{PPCM}\) |
| nombre premier | 素数 / 质数 | |
| lemme d’Euclide | 欧几里得引理 | \(p\mid ab\Rightarrow p\mid a\) 或 \(b\) |
| théorème fondamental de l’arithmétique | 算术基本定理 | 素因数分解唯一 |
| valuation \(v_p(a)\) | \(p\) 进赋值 | |
| forme irréductible | 最简分数 |
III-4Congruences, \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) et indicatrice d’Euler同余、模 n 剩余类环与欧拉函数
Soit \(n\ge2\). On dit que des entiers \(a\) et \(b\) sont congrus modulo \(n\), noté \(a\equiv b\pmod n\), si \(n\) divise \(a-b\).
a) La congruence modulo \(n\) est une relation d’équivalence sur \(\mathbb{Z}\).
b) Les classes d’équivalence sont \(n\mathbb{Z},\,n\mathbb{Z}+1,\,\dots,\,n\mathbb{Z}+(n-1)\), où \(n\mathbb{Z}=\{nk,k\in\mathbb{Z}\}\).
Pour tout entier \(a\), la classe \(\bar a = n\mathbb{Z}+r\)（\(r\) le reste de la division de \(a\) par \(n\)）est notée \(\bar a\). L’ensemble \(\{\bar 0,\bar 1,\dots,\overline{n-1}\}\) des classes modulo \(n\) est noté \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\).
La relation \(\equiv\pmod n\) est compatible avec l’addition et la multiplication : \(a\equiv a'\) et \(b\equiv b'\Rightarrow a+b\equiv a'+b'\) et \(ab\equiv a'b'\). On définit alors dans \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) :
\[\bar a + \bar b = \overline{a+b},\qquad \bar a\,\bar b = \overline{ab},\quad(3.3.1)\]et \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+,\times)\) est un anneau commutatif ; la surjection canonique \(\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},\,a\mapsto\bar a\) est un morphisme d’anneaux.
Vérifions que \(1234^{6789} + 9876^{4321}\) est divisible par \(5\). Calculons modulo \(5\) :
- \(1234\equiv4\equiv-1\,[5]\), donc \(1234^{6789}\equiv(-1)^{6789}\equiv-1\,[5]\) ;
- \(9876\equiv1\,[5]\), donc \(9876^{4321}\equiv1^{4321}\equiv1\,[5]\) ;
- Somme : \(-1+1\equiv0\,[5]\), donc l’entier est divisible par \(5\).
Soit \(a\in\mathbb{Z}\). Pour que \(\bar a\) soit un élément inversible de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), il faut et il suffit que \(a\) soit premier avec \(n\).
\(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est un corps \(\iff\) \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) est intègre \(\iff\) \(n\) est premier.
On cherche les entiers \(a\) tels que \(a^2+a+1\) soit divisible par \(7\). Posant \(x=\bar a\in\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\), on factorise :
\[x^2+x+1 \equiv x^2+8x+15 = (x+5)(x+3) = (x-2)(x-4)\quad(\text{mod }7),\]car \(\overline{5}=\overline{-2},\ \overline{3}=\overline{-4}\). Donc les solutions sont \(a\equiv2\) ou \(a\equiv4\pmod7\), c’est-à-dire \(\mathcal{S}=(7\mathbb{Z}+2)\cup(7\mathbb{Z}+4)\).
On note \(\varphi(n)\) le nombre d’éléments inversibles de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\), c’est-à-dire le nombre d’entiers compris entre \(1\) et \(n\) et premiers avec \(n\). En posant \(\varphi(1)=1\), on définit \(\varphi:\mathbb{N}^*\to\mathbb{N}^*\), appelée indicatrice d’Euler.
\(\varphi(2)=1,\,\varphi(3)=2,\,\varphi(4)=2,\,\varphi(5)=4,\,\varphi(6)=2,\,\varphi(7)=6,\,\varphi(8)=4,\,\varphi(9)=6,\,\varphi(10)=4,\,\varphi(11)=10,\,\varphi(12)=4\).
Si \(p\) est premier, \(\varphi(p)=p-1\); et pour tout \(k\in\mathbb{N}^*\),
\[\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^k\left(1-\frac1p\right),\]car un entier entre \(1\) et \(p^k\) n’est pas premier avec \(p^k\) ssi il est de la forme \(mp\).
📖 Vocabulaire 专有名词词汇表（III-4）
| Terme | 中文 | 备注 |
|---|---|---|
| congru modulo \(n\) | 模 \(n\) 同余 | \(n\mid(a-b)\) |
| classe d’équivalence \(\bar a\) | 等价类 / 剩余类 | |
| \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) | 模 \(n\) 剩余类环 | \(n\) 素时为域 |
| surjection canonique | 典型投影 / 商映射 | |
| indicatrice d’Euler \(\varphi(n)\) | 欧拉函数 | 互素元的个数 |